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Uma fórmula para a equação de quinto grau

Como foi dito em sobre a equação do quinto grau, não existe como se chegar numa fórmula específica com a extração, divisão, multiplicação, enfim, utilizando operações básicas. Mas, segundo o teorema fundamental da álgebra é possível encontrar ou resolver as raízes de uma equação de quinto grau qualquer SIM!

A fórmula que resolve todas as equações do quinto grau

A fórmula resolve equações do quinto grau da forma x^5+ax+b, porém, pelo polinômio de Martinelli é possível manipular a variável k e obter uma solução do polinômio. Mas, para isso ocorrer é necessário que o último termo da equação reduzida do quinto grau tenha o final bk. Ou seja, todas as equações, segundo essa mudança de variável no polinômio de Martinelli, do tipo x^5+ax+bk são solúveis por radicais

A fórmula é bastante simples

k=\sqrt[4]{\frac{5\sqrt{a^2+2ab+5b^2}+3a+11b}{2}}

Por exemplo, se quisermos resolver a equação x^5-55x+21, entendemos que a = -55 e bk=21. Assim, b= 21/k. Como teremos uma equação de décimo grau se b=21/k então torna-se impossível, por meio de radicais, na maioria das vezes, resolver equações do tipo x^5+ax+b. A ideia é fazer iterações ou seja, podemos inserir em k um valor que seria um “chute” para o valor de k. Poderíamos começar com k = 1 que é lógico pois 21/1 vai dar o próprio 21. E assim pega-se o resultado que surgir e insere novamente em k e assim o k vai se aproximando do k realmente; nesse caso k = 3 e b = 7 que dá 21

Após descobrir o k aproximado temos que resolver a equação de quinto grau

Para isso separamos a equação em duas equações: uma de grau 2 e outra de grau 3. Assim teremos que: (x^2-kx+\frac{2(k^5-55k)-21}{5k^3})(x^3+kx^2+(k^2-\frac{2(k^5-55k)-21}{5k^3})x+\frac{105k^3}{2(k^5-55k)-21}) Resolvendo ambas as equações com as fórmulas resolutivas do segundo e do terceiro grau teremos as raízes da equação x^5-55x+21. Fácil não é?

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